Pythonで学ぶAIの基礎:内積がGISとAIをつなぐ

AI・生成AIの中核に、高校数学で習った「ベクトルの内積」が居座っている――と聞くと、意外に思われるかもしれません。しかしGIS技術者にとって、内積はむしろ馴染み深い計算です。座標、方位、傾斜、ポリゴンの判定…日常的に裏で動いています。

本記事では、GIS実務を入り口に、内積がどうやってChatGPTやRAGの中核になっているかを、Pythonコードを交えて解説します。

1. そもそも「内積」とは
2. GISでの内積:斜面方位・進行方向・斜面解析
1. 例1:斜面の向きと太陽方位の一致度
2. 例2:進行方向と目標方位の一致度
3. AIは「言葉」を座標に変える
4. 「意味の近さ」を内積で測る
5. ChatGPTの中身:Attentionも内積の塊
6. RAGとPostGIS:ベクトル検索という新潮流
7. まとめ:GIS技術者にとってAIは「遠くない」

1. そもそも「内積」とは

2つのベクトルから、1つの数値(スカラー)を返す計算です。やることは単純で、同じ位置の要素を掛けて、すべて足す。それだけ。

import numpy as np

a = np.array([3, 4])
b = np.array([1, 2])

dot = np.dot(a, b)   # 3*1 + 4*2 = 11
print(dot)           # → 11

幾何学的には次の関係があります。

a・b = |a| × |b| × cos(θ)

ここから、2つのベクトルがどれだけ同じ方向を向いているかが分かります。

内積の値	角度θ	意味
正(大)	0°に近い	同方向・類似
0	90°	直交・無関係
負	180°に近い	逆方向・対立

2. GISでの内積:斜面方位・進行方向・斜面解析

GIS技術者にとって、内積は地味だが頻出の道具です。

例1:斜面の向きと太陽方位の一致度

DEMから求めた斜面の方位ベクトルと、太陽方位ベクトルの内積を取れば、日射の当たりやすさが一発で出ます。

# 斜面方位(南向き)と太陽方位(南南東)
slope_vec = np.array([0, -1])       # 南
sun_vec   = np.array([0.34, -0.94]) # 南南東

similarity = np.dot(slope_vec, sun_vec)
print(round(similarity, 3))  # → 0.94 (よく当たる)

例2:進行方向と目標方位の一致度

道路中心線に対して、ポイントが左右どちらにあるか――は外積で判定しますが、進行方向との一致度は内積で判ります。

heading = np.array([1, 0])         # 東向きに進行中
to_target = np.array([0.7, 0.7])   # 目標は北東

cos_sim = np.dot(heading, to_target) / (
    np.linalg.norm(heading) * np.linalg.norm(to_target)
)
print(round(cos_sim, 3))  # → 0.707 (45°ズレ)

これ、コサイン類似度そのものです。GISの方位計算と、AIの意味類似度計算が、同じ数式で繋がる瞬間です。

3. AIは「言葉」を座標に変える

ここからがAIの話です。ChatGPTのようなAIは、文字そのものは理解できません。そこで単語・文・画像を、高次元の数値ベクトルに変換(Embedding) します。

"森林"    → (0.21, -0.05, 0.88, ..., 0.12)   # 1536次元
"林業"    → (0.19, -0.03, 0.85, ..., 0.10)
"コンビニ" → (-0.42, 0.71, -0.11, ..., 0.55)

設計思想は、意味が近いものは、ベクトルも近くなること。GISで言えば、属性空間における座標みたいなものです。

4. 「意味の近さ」を内積で測る

意味の近さは、ベクトル間の角度――つまりコサイン類似度(内積) で測ります。

from numpy.linalg import norm

def cos_sim(a, b):
    return np.dot(a, b) / (norm(a) * norm(b))

forest   = np.array([0.21, -0.05, 0.88])
forestry = np.array([0.19, -0.03, 0.85])
conveni  = np.array([-0.42, 0.71, -0.11])

print(cos_sim(forest, forestry))  # → 0.999 (ほぼ同義)
print(cos_sim(forest, conveni))   # → -0.4  (無関係〜対立)

これだけのことです。掛けて、足して、ノルムで割る。それで意味の類似度が出る。

5. ChatGPTの中身:Attentionも内積の塊

ChatGPTの中核は Transformer、そのまた中核は Attention(注意機構) という仕組みです。Attentionが何をしているかというと、

いま処理している単語は、文中の他のどの単語と関係が深いか?

を、全単語ペアの内積で計算しています。

たとえば「林齢の高い人工林を伐採し、再造林する」という文を処理する際、AIは内部で

「林齢」と「人工林」の内積 → 高い
「伐採」と「再造林」の内積 → 高い(対の概念)
「林齢」と「再造林」の内積 → 中

…という関連度マップを毎回作っています。1回の応答で、何百万〜何億回の内積が走っている計算です。

6. RAGとPostGIS:ベクトル検索という新潮流

GIS技術者として注目したいのが RAG(検索拡張生成) です。社内文書や条例、地域資料をAIに参照させて回答させる技術ですが、その根幹も内積。

[ユーザー質問] → ベクトル化
        ↓
[文書DB内の全ベクトルと内積計算]
        ↓
[上位N件を取得 → LLMに渡す]

しかも嬉しいことに、PostgreSQLの拡張 pgvector を使えば、PostGISと同じDB上でベクトル検索ができます。

-- pgvector で類似文書検索
SELECT title, content
FROM documents
ORDER BY embedding <#> '[0.21, -0.05, 0.88, ...]'::vector
LIMIT 5;

<#> は内積演算子。PostGISで ST_Distance を使うのと、感覚的にはほぼ同じです。空間検索とセマンティック検索が、同じDBで共存できる時代になりました。

7. まとめ:GIS技術者にとってAIは「遠くない」

整理するとこうなります。

用途	ベクトルの中身	内積で分かること
GIS(方位)	(x, y) 座標差分	進行方向との一致度
GIS(斜面)	法線ベクトル	日射・視認性
AI(言語)	1536次元の意味埋め込み	単語・文の意味類似度
RAG	文書埋め込み	質問と文書のマッチ度